Конструирование поверхностей методом геометрических преобразований

Введение. Современный этап системного анализа технологических процессов основы на системное мышление в анализе объекта исследования системный анализ на основы системного мышления объекта дает возможность изучения процесса, нахождения его входных и выходных технологических параметров, взаимосвязь между ними, а также логического решение поставленной задачи по наперед заданному условиями, здесь же объектом исследования является процесс дистилляции растительного масла, протекающего в аппарате как частицы газа. Считаем, что геометрическое место частицы газа и ее преобразования также параметризация осуществляется как конструирование поверхностей методам геометрических преобразования. Конструирование поверхностей методом геометрических преобразований. Одной из важных задач в практике конструирования геометрических, технических форм является восстановление поверхности по ее дискретному каркасу. “Развитие науки и технологий” Научно–технический журнал №5/2025 40 Техника, технология ва жиҳозлар Так, при проектировании обшивки кузова автомобиля, корпуса судна в начале представляют дискретным набором линий и точек, а затем этот каркас интерполируют плавной поверхностью. (4) Пусть задан на плоскостях, параллельных плоскости ХОZ каркас моделируемой поверхности из плоских кривых различного порядка. Анализируя линии каркаса в каждом случае уровня у=О т.е. плоскости XOZ выберем функцию z=f(x), где f(x) состоит из комбинации специальных операций и функций, составляющих линий каркаса. В данном случае кривые являются частными случаями кривой z=(ax+b) (cx+d) (mx+n) (1) в качестве специальной операции здесь фигурирует операция умножения, базисных кривых. Для проведения искомой поверхности инцидентной заданным линиям каркаса выполняется нижеследующий алгоритм. Перемещая подвижную систему координат ХОУ параллельно самой себе по направлению оси ОУ, добиваемся того, чтобы коэффициенты (1) перед хк (к=0.1…..0,3) совпадали соответственными коэффициентами li на этих уровнях. Поставим задачу. Определить коэффициентов хк в зависимости от переменной у. Пусть линии h1, h2, h3 на уровнях у1, у2, у3 имеют уравнения. h1:z=(a1x+b1)(c1x+d1)(m1x+n1), h2:z=(a2x+b2)(c2x+d2)(m2x+n2), h3:z=(a3x+b3)(c3x+d3)(m3x+n3). Для определения коэффициентов (1), например, а, имеется в данном случае три точки (у1, а1), (у2, a2) (у3, а3). Принимая эти точки на плоскости УОZ за узлы интерполирования, используем интерполяционный полином а = Р1 (у).Так же определяется остальные коэффициенты кривой (1), обозначим их через b=Р2(у), с=Р3(у), d=P4(y), m=P5(y), n=P6(y). Подставляя эти выражения в (1), получим уравнение. z= (P1(y)x+P2(y)) (P3(y)x+P4(y)) (P5(y) x+P6(y)) (2) искомой поверхности. Уравнение (2) при у=у, (у1, у2) определяет линии каркаса L1 (L2, L3) т.е. поверхность проходит через эти линии. Варьируя полиномы Рi и величину у=C, можно построить разнообразные поверхности и управлять формой. Управление порядком линий каркаса на различных уровнях сводится к построению полиномов, пересекающих на этих уровнях OC OY, т.е. на этих уровнях один коэффициент, например, С, принимает значение, равное нулю. Таким образом порядок линии каркаса уменьшается на единицу. В составе линий каркаса могут быть различные алгебраические и трансцендентные линии. При таком способе интерполирования поверхностей на разных уровнях базисные линии меняют свое положение так, что линии каркаса на этих уровнях являются результатам специальных операций над базисными линиями. Когда каркас состоит из линий одного порядка, то такую интерполяционную задачу можно решать и другим способом. Например, для определения коэффициентов базисных кривых можно составить систему уравнений полагая из неизвестными и используя пересечения базисных линий li с плоскостью ХОУ, проходящей через точки пересечения линий каркаса li с этой же плоскостью в ходе движения подвижной системы координат ХОZ параллельно самой себе. Рассмотрим задачу проведения поверхности через множество замкнутых симметричных плоских кривых различного порядка в виде (рис,1). Пусть заданы линии каркаса в виде: 5) 2 = 1 ; - окружности при y=c2, 𝑙2: 𝑥2 + 𝑦2 −36 = 0 ; 3) 2 + ( 2 - вытянутого эллипса при y=c1, 𝑙1: ( 𝑥 2) 2 = 1 . Кривой вида аэродинамического профиля 4) 2 + ( 𝑧 - сплющенного эллипса y=c3, 𝑙3: ( 𝑥 “Фан ва технологиялар тараққиёти” Илмий–техникавий журнал №5/2025 41 Техника, технология и оборудование при у=С4 l4 : Z=(25-x2)0,5(2(x-5)2+1)(5𝑥 2 ). Для этого случая в качестве базисных линий выберем три прямые Z = a-x, Z=b(a+x), Z=cx+d и параболу Z=m(x-n)2+1 далее выполняя над ними операции умножения, деления и извлечения корня, получаем кривую Z= 𝑏 𝑎 ((a+x)(a-x))0,5(m(x-n)2+1)(cx+d) (3) Варьируя по вышеприведенной схеме коэффициенты кривой (3), можно получить линии каркаса Li li=1,4. Например, для получения окружности x2+z2=62 на уровне y=c2, требуется, чтобы полиномы a =Pa (y) и b=Pb (y) проходили на этом уровне через точки (а,у)=(6,с2) и (в,у)= (6,с2), соответственно. Кривые полиномов m=Pm(y) и c=Pc(y) должны на данном уровне пересекутся с осью OY, и для полиномов I=Pi(y)3 d=Pd(y) требуется условие Pi (y), Pd(y) =1 . И для других линий каркаса можно сформулировать такие же условия на основе анализа уравнений кривой (3). По сути уравнение интерполируемой поверхности на уровнях линий каркаса принимает значения частных случаев уравнения (3). Порядок интерполируемой поверхности зависит от количества линий каркаса, а на уровне y=const вид линий уровня этой поверхности зависит от вида линий каркаса. Интерполяция каркаса поверхности, полученной на основе специальных операций над более простыми функциями и на основе определения их коэффициентов упрощает математическое описание криволинейных объектов и дает возможность управления формой интерполируемой поверхности (2). В общем случае легко обобщить такой способ интерполирования для описания многомерных процессов, у которых заданы множества уровней. Рассмотрим управление формой поверхности варьированием аппликат кривой. Для этого предлагаем метод решения задачи управления формой поверхности с помощью умножения поверхностей, представленных уравнениями в явной форме и которые проходят через заданные линии каркаса. Пусть заданы пространственные кривые G1(G11,G12) и G2(G21,G22) двумя проекциями. G11 : x=f(y) , G21 : x=q(y), G12 : z=g(y) G22 : z=t(y), G1 (G11, G12) = G1 (f(y), q (y), G2 (G21, G22) = G2 (g(y), t(y)). Проведем линейчатую поверхность через G1 и G2 Передвигая плоскость XOZ по направлению оси ОУ, параллельно самой себе, в каждой позиции проведем прямые через точки пересечения этой плоскости с пространственными кривыми G1 и G2. Перейдем к аналитическому описанию этой поверхности. Пусть G1 пересекает плоскость XOZ уровня y=const, в точке A(x,z)=A(f(y),q(y)) и кривая G2 – в точке B(x,z)=B(g(y), t(y)). Тогда уравнение прямой, проходящей через точки А и В, имеет вид 𝑥−𝑓(𝑦) 𝑔(𝑦)−𝑓(𝑦) = 𝑧−𝑞(𝑦) 𝑡(𝑦)−𝑞(𝑦) отсюда Z=(g(y)-f(y))-1(x-f(y)) (t(y)-q(y))+q(y) (4) . Уравнение (4) при y=const, определяет прямую в плоскости уровня XOZ , а в общем случае представляет линейчатую поверхность, которая проходит через линии G1 и G2. Предлагаемый способ управления формой поверхности (4) заключается в том, что в качестве параметров управления формой выбираются аппликаты точек или фронтальная проекция одной из кривых G1 или G2, например G1 модифицируя фронтальную проекцию G22:Z=q(y) кривой G1, получили G22:Z=P(y). Проведем теперь поверхность проходящую через линииL4 (G11, P(y)/q(y))и I2(G21,1). Обозначим k(y) = P(y) · (q(y))-1. тогда (x-f(y))(g(y)-f(y))-1=(Z-k(y))(t(y)-k(y))-1 “Развитие науки и технологий” Научно–технический журнал №5/2025 42 Техника, технология ва жиҳозлар “Фан ва технологиялар тараққиёти” Илмий–техникавий журнал №5/2025 43